Question

1．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2$\sqrt{2}$．
（1）求異面直線BF與CD所成角的正弦值；
（2）證明：平面CDE⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB，得∠FBA就是異面直線BF與CD所成的角，由此能求出異面直線BF與CD所成角的正弦值．
（2）推導出DE⊥BA，DE⊥AF，由此能證明平面CDE⊥平面ABF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴CD∥AB，…（1分）
∴∠FBA就是異面直線BF與CD所成的角…（2分）
∵BA⊥平面ADEF，AF?平面ADEF，∴BA⊥AF，…（4分）
∵AF=1，$AB=AD=2\sqrt{2}$，
∴在直角△FBA中，$BF=\sqrt{A{B^2}+A{F^2}}=3$…（5分）
∴$sin∠FBA=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{3}$，
∴異面直線BF與CD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．…（6分）
證明：（2）∵BA⊥平面ADEF，DE?平面ADEF，∴DE⊥BA，…（7分）
由已知DE⊥AF…（8分）
∵BA，AF是平面ABF內(nèi)的兩條相交直線，…（9分）
∴DE⊥平面ABF，…（10分）
∵DE?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF…（12分）

點評 本題考查異面直線所成角的正弦值的求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．