Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求所有實(shí)數(shù)a，使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立．注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)果，通過函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式組，即可求出a的值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0，
所以f′（x）=$\frac{a2}{x}$-2x+a=-$\frac{（x-a）（2x+a）}{x}$．（2分）
由于a＞0，所以x∈（0，a），f′（x）＞0；x∈（a，+∞），f′（x）＜0；
f（x）的增區(qū)間為（0，a），減區(qū)間為（a，+∞）．   （4分）
（2）由題意得：f（1）=a-1≥e-1，即a≥e．（6分）
由（1）知f（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，
要使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立，（8分）
只要$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1≥e-1}\\{f（e）={a}^{2}-{e}^{2}+ae≤{e}^{2}}\end{array}\right.$
解得a=e．（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．