Question

3．已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（-2，0），直線l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R）．
（1）求直線l所經(jīng)過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求λ的取值范圍；
（3）若分別過A，B且斜率為$\sqrt{3}$的兩條平行直線截直線l所得線段的長(zhǎng)為$4\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程組，從而可求定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出A，B與定點(diǎn)的斜率，即可得到λ的取值范圍；
（3）先求出過A，B且斜率為$\sqrt{3}$的兩條平行直線，再分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論即可．

解答 解：（1）由題意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），
則λ（x+y-4）+（3x-y）=0，
∵λ∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$，
解的$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直線l所經(jīng)過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）；
（2）∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（-2，0），定點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）；
∴k_PA=$\frac{3-0}{1-2}$=-3，k_PB=$\frac{3-0}{1-（-2）}$=1，
∵直線l與線段AB有公共點(diǎn)，
當(dāng)λ=1時(shí)，直線x=1，與線段AB有公共點(diǎn)，
當(dāng)λ≠1時(shí)，直線l的斜率k=$\frac{λ+3}{1-λ}$，
∴$\frac{λ+3}{1-λ}$≥1或$\frac{λ+3}{1-λ}$≤-3，
解的-1≤λ＜1，或1＜λ≤3，
綜上所述：λ的取值范圍為[-1，3]．
（3）分別過A，B且斜率為$\sqrt{3}$的兩條平行直線，分別為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
由（1）知，l恒過點(diǎn)（1，3），
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y-3=k（x-1），由圖象易知，直線l的傾斜角為30°，即k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴過點(diǎn)p的直線l為y-3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x-3y+9-$\sqrt{3}$=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（1）可知直線過定點(diǎn)（1，3），則直線方程為x=1，
令x=1，可知y₁=3$\sqrt{3}$，y₂=-$\sqrt{3}$，|y₁-y₂|=4$\sqrt{3}$，符合題意，
綜上所述：直線l的方程為x=1或 $\sqrt{3}$x-3y+9-$\sqrt{3}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線恒過定點(diǎn)，兩直線交點(diǎn)的意義，直線與直線的距離，直線的斜率的范圍是解得本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．