Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）與

b

=（1，y）共線，設函數y=f（x）．
（1）求函數f（x）最大值，并求出對應的x的集合；
（2）已知銳角△ABC 中的三個內角分別為 A、B、C，若有f（A-

π

3

）=

3

，邊 BC=

7

，sinB=

21

7

，求△ABC 的面積．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：計算題

分析：（1）由向量

a

與

b

共線，既有

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，進而可求函數f（x）的表達式，從而求出函數f（x）的最大值，并求出對應的x的集合；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

，可求出A的值，由正弦定理可求出AC，sinC的值，即可求出△ABC 的面積．

解答： 解：（1）因為向量

a

與

b

共線，所以

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，
則y=f（x）=2sin（x+

π

3

），所以f（x）的周期T=2π，
當x=2kπ+

π

6

，k∈Z，f_max=2．
（2）∵f（A-

π

3

）=

3

，
∴2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，
∴sinA=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，又sinB=

21

7

，
∴AC=

BCsinB

sinA

=2，且sinC=

3 21

14

∴S△ABC=

1

2

|AC||BC|sinC=

3 3

2

．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用和正弦定理，屬于中檔題．