Question

20．已知函數(shù)f（x）=2log₃（3-x）-log₃（1+x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的意義列出不等式組解出即可；
（2）化簡f（x），求出$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}$的值域即可得出f（x）的最值．

解答 解：（1）由f（x）有意義得$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜3．
∴f（x）的定義域為（-1，3）．
（2）f（x）=log₃$\frac{（3-x）^{2}}{1+x}$，
令g（x）=$\frac{（3-x）^{2}}{1+x}$=$\frac{{x}^{2}-6x+9}{x+1}$，
則g′（x）=$\frac{（2x-6）（x+1）-（{x}^{2}-6x+9）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-16}{（x+1）^{2}}$，
∵x∈[0，2]，∴（x+1）²-16＜0，
∴g（x）是減函數(shù)，∴g（2）≤g（x）≤g（0）
即$\frac{1}{3}$≤g（x）≤9，
∴當(dāng)g（x）=$\frac{1}{3}$時，f（x）取得最小值log₃$\frac{1}{3}$=-1，
當(dāng)g（x）=9時，f（x）取得最大值log₃9=2．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，屬于中檔題．