Question

4．設(shè)a為實數(shù)，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）求a的值，使f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
（2）上述函數(shù)是否具有單調(diào)性，如果具有單調(diào)性，試求出單調(diào)區(qū)間并加以證明，如果沒有單調(diào)性，說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=0，求出a即可，
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為R，f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1，
（2）∵ff（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
∴f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．