Question

9．已知點P是單位圓上一個定點，線段AB是單位圓的一條動弦，且AB=1，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意可得△ABO為等邊三角形，∠AOB=60°，由圓的性質可得∠APB=30°，在△PAB中，運用余弦定理和基本不等式，即可得到|AP|•|BP|的最大值，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值，無最小值．

解答 解：如圖單位圓上三點P，A，B，|AB|=1，
△ABO為等邊三角形，∠AOB=60°，
由圓的性質可得∠APB=30°，
在△PAB中，由余弦定理可得|AB|²=|AP|²+|BP|²-2|AP|•|BP|cos30°，
即有1═|AP|²+|BP|²-$\sqrt{3}$|AP|•|BP|≥2|AP|•|BP|-$\sqrt{3}$|AP|•|BP|
=（2-$\sqrt{3}$）|AP|•|BP|，則|AP|•|BP|≤2+$\sqrt{3}$，
當且僅當|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，取得等號．
即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AP|•|BP|≤$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．
故答案為：（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查圓的性質：同弧所對的圓周角為圓心角的一半，以及余弦定理和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．