【題目】設(shè)函數(shù)在上是奇函數(shù),且對任意都有,當時,,:
(1)求的值;
(2)判斷的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1);(2)在上單調(diào)遞減;證明詳見解析;(3)。
【解析】
試題分析:(1)令可以得到:,由已知,所以;(2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),可以按照函數(shù)單調(diào)性定義進行證明,設(shè)是上任意兩個不等的實數(shù),且,則,,再根據(jù)已知條件可有,因為當時,,所以,因此函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù);(3)根據(jù)第(1)問,再根據(jù)奇函數(shù)有:,所以不等式轉(zhuǎn)化為,根據(jù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),則有:,解得,所以。
試題解析:(1)在中,令得
(2)結(jié)論:函數(shù)在上是單調(diào)遞減的,證明如下:
任取
則==
因為,所以,則,即
故函數(shù)在上單調(diào)遞減。
(3)由于
所以不等式等價于
又是奇函數(shù),所以
即
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以,解得
故原不等式的解集為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,設(shè)函數(shù),若對于使成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓,右焦點到橢圓上的點的距離的最大值為3。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點是橢圓上兩個動點,直線與橢圓的另一交點分別為,且直線的斜率之積等于,問四邊形的面積是否為定值?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到如下折線圖。下面關(guān)于這位同學的數(shù)學成績的分析中,正確的共有( )個。
①該同學的數(shù)學成績總的趨勢是在逐步提高;
②該同學在這連續(xù)九次測試中的最高分與最低分的差超過40分;
③該同學的數(shù)學成績與考試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān)
A.0 B.1
C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對任意的a,b∈R,都有,且當x>0時,
(1)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(4)=3,解不等式f(3m2﹣m﹣2)<2.
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【題目】(附加題)對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的一個不動點.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0).
(Ⅰ)當a=2,b=﹣2時,求f(x)的不動點;
(Ⅱ)若f(x)有兩個相異的不動點x1,x2,
(ⅰ)當x1<1<x2時,設(shè)f(x)的對稱軸為直線x=m,求證:m>;
(ⅱ)若|x1|<2且|x1﹣x2|=2,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】命題“x0∈R,x02﹣x0+1<0”的否定是( )
A.x0∈R,x02﹣x0+1≥0
B.x0R,x02﹣x0+1≥0
C.x∈R,x2﹣x+1≥0
D.xR,x2﹣x+1≥0
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