Question

11．設(shè){a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂+a₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），分組求和法求解數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）由題意，{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂+a₄=8．即2+d+2+3d=8，
可得等差d=1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n+1．
（2）由（1）b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），
∴b_n=2n+2+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}看成是等差數(shù)列{2n+2}+等比數(shù)列{$\frac{1}{{2}^{n}}$}得到的．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=S_等差+S_等比=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“分組求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．