Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

．
（Ⅰ）求證：直線AC∥平面EFB；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC，BD交于O，取EB中點M，連結(jié)FM，MO，由已知條件推導(dǎo)出四邊形FAOM是平行四邊形，由此能證明直線AC∥平面EFB．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC，BD交于O，取EB中點M，連結(jié)FM，MO，
在△BDE中，OM

∥

.

1

2

DE，F(xiàn)A

∥

.

1

2

DE，∴OM

∥

.

FA，
∴四邊形FAOM是平行四邊形，
∴FG∥AO，又AO不包含平面EFB，F(xiàn)G?平面EFB，
∴直線AC∥平面EFB．
（Ⅱ）解：∵ED⊥平面ABCD，
∴BD是BE在面ABCD上的射影，
∴∠EBD是直線BE與平面BCD所成的角，
tan∠EBD=

ED

BD

=

ED

2 2

=

2

2

，解得ED=2，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（2，0，0），C（0，2，0），
B（2，2，0），E（0，0，2），
∴

AC

=(-2，2，0)，

AB

=(0，2，0)，

AE

=(-2，0，2)，
設(shè)平面ABE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AB =2y=0 n • AE =-2x+2z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，1)，
設(shè)直線AC與平面ABE所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

-2

8 × 2

|=

1

2

．
∴直線AC與平面ABE所成角的正弦值為

1

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．