5.給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)$y=2sin(2x-\frac{π}{3})$的一條對(duì)稱軸是x=$\frac{5π}{12}$;
②函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{2}$,0)對(duì)稱;
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù);
④若$sin(2{x_1}-\frac{π}{4})=sin(2{x_2}-\frac{π}{4})$,則x1-x2=kπ,其中k∈Z;
⑤函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍為(1,3).
以上五個(gè)命題中正確的有①②(填寫所有正確命題的序號(hào))

分析 ①計(jì)算2sin(2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$)是否為最值±2進(jìn)行判斷;②根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷;③根據(jù)正弦函數(shù)的圖象判斷;④由$sin(2{x_1}-\frac{π}{4})=sin(2{x_2}-\frac{π}{4})$得2x1-$\frac{π}{4}$和2x2-$\frac{π}{4}$關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱或相差周期的整數(shù)倍;⑤作出函數(shù)圖象,借助圖象判斷.

解答 解:當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí),sin(2x-$\frac{π}{3}$)=sin$\frac{π}{2}$=1,∴①正確;
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí),tanx無意義,∴②正確;
當(dāng)x>0時(shí),y=sinx的圖象為“波浪形“曲線,故③錯(cuò)誤;
若$sin(2{x_1}-\frac{π}{4})=sin(2{x_2}-\frac{π}{4})$,則2x1-$\frac{π}{4}$=2x2-$\frac{π}{4}$+2kπ或2x1-$\frac{π}{4}$+(2x2-$\frac{π}{4}$)=2($\frac{π}{2}+kπ$)=π+2kπ,
∴x1-x2=kπ或x1+x2=$\frac{3π}{4}$+kπ,k∈Z.故④錯(cuò)誤.
作出f(x)=sinx+2|sinx|在[0,2π]上的函數(shù)圖象,如圖所示:
則f(x)在[0,π]上過原點(diǎn)得切線為y=3x,設(shè)f(x)在[π,2π]上過原點(diǎn)得切線為y=k1x,
有圖象可知當(dāng)k1<k<3時(shí),直線y=kx與f(x)有2個(gè)不同交點(diǎn),
∵y=sinx在[0,π]上過原點(diǎn)得切線為y=x,∴k1<1,故⑤不正確.
故答案為:①②.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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15.已知α是第二象限角,$f(α)=\frac{{sin({3π-α})-tan({-α-π})}}{{cos({\frac{9π}{2}+α})cos({2π-α})tan({-α})}}$.
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16.已知函數(shù)f(x)=(a-1)(ax-a-x)(0<a<1).
(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;
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13.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知2tanA=$\frac{3}{sinA}$.
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20.如圖,在三棱錐K-ABC中,平面KAC⊥平面ABC,KC⊥AC,AC⊥AB,H為KA的中點(diǎn),KC=AC=AB=2.
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(2)若f(x)≤1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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