Question

5．給出下列五個(gè)命題：
①函數(shù)$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的一條對(duì)稱軸是x=$\frac{5π}{12}$；
②函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱；
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)；
④若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，則x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
⑤函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為（1，3）．
以上五個(gè)命題中正確的有①②（填寫所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①計(jì)算2sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）是否為最值±2進(jìn)行判斷；②根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；③根據(jù)正弦函數(shù)的圖象判斷；④由$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$得2x₁-$\frac{π}{4}$和2x₂-$\frac{π}{4}$關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱或相差周期的整數(shù)倍；⑤作出函數(shù)圖象，借助圖象判斷．

解答 解：當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，∴①正確；
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，tanx無意義，∴②正確；
當(dāng)x＞0時(shí)，y=sinx的圖象為“波浪形“曲線，故③錯(cuò)誤；
若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，則2x₁-$\frac{π}{4}$=2x₂-$\frac{π}{4}$+2kπ或2x₁-$\frac{π}{4}$+（2x₂-$\frac{π}{4}$）=2（$\frac{π}{2}+kπ$）=π+2kπ，
∴x₁-x₂=kπ或x₁+x₂=$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z．故④錯(cuò)誤．
作出f（x）=sinx+2|sinx|在[0，2π]上的函數(shù)圖象，如圖所示：
則f（x）在[0，π]上過原點(diǎn)得切線為y=3x，設(shè)f（x）在[π，2π]上過原點(diǎn)得切線為y=k₁x，
有圖象可知當(dāng)k₁＜k＜3時(shí)，直線y=kx與f（x）有2個(gè)不同交點(diǎn)，
∵y=sinx在[0，π]上過原點(diǎn)得切線為y=x，∴k₁＜1，故⑤不正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．