Question

14．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）的定義域?yàn)閇a+3，a+4]．
（1）討論函數(shù)f（x）的單凋性；
（2）若f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的含義得出x＞3a，利用定義域得出a+3＞3a，得出a的范圍，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與不等式的恒成立得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{f（a+4）≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{f（a+3）≤1}\end{array}\right.$②求解即可得出a的范圍．

解答 解：（1）∵設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）
∴x＞2a，且x＞3a，
即x＞3a，
∵定義域?yàn)閇a+3，a+4]．
∴a+3＞3a，
a＜$\frac{3}{2}$，
當(dāng)1＜a$＜\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）單調(diào)遞減
（1）∵f（x）≤1恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{f（a+4）≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{f（a+3）≤1}\end{array}\right.$②
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{（4-a）（4-2a）≤a}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{（3-a）（3-2a）≥a}\end{array}\right.$②
$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$＜a＜\frac{13+\sqrt{41}}{4}$，
∵$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$＞\frac{3}{2}$
∴①無解；
∵（3-a）（3-2a）≥a即a$≥\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或a$≤\frac{5-\sqrt{7}}{2}$
∴②的解集為：0＜a＜1
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍0＜a＜1

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式的恒成立問題，關(guān)鍵是利用單調(diào)性得出最值，轉(zhuǎn)化為不等式組．