Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，點(diǎn)M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）試確定點(diǎn)M的位置，并說(shuō)明理由；
（2）求二面角M-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可確定點(diǎn)M的位置；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-AC-D的正切值．

解答 解：（1）連接BD交AC于O，則O是BD的中點(diǎn)，
∵PB∥平面ACM，平面PBD∩平面AMC=OM
∴PB∥OM．
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴M是PD的中點(diǎn)；
（2）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，
∴建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)PA=AB=1，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
M（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則平面ACD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=x+y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0，
令y=-1，則x=1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
即二面角M-AC-D的正切值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的性質(zhì)定理，以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．