Question

20．若點(diǎn)M是以橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的短軸為直徑的圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作該圓的切線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，橢圓E的右焦點(diǎn)為F₂，則△PF₂Q的周長是6．

Answer 1

分析 方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），聯(lián)立橢圓方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，可得周長；
方法二、設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用橢圓的焦半徑公式和勾股定理，化簡整理即可得到所求周長．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，
方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
有△=（18km）²-4（8+9k²）（9m²-72）=288（9k²-m²+8）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}$，
∴$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4×9×8（9{k^2}-{m^2}+8）}}{{{{（8+9{k^2}）}^2}}}}$．
∵直線PQ與圓x²+y²=8相切，
∴$\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，即$m=\sqrt{8（1+{k^2}）}$，
∴$|{PQ}|=-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}$，
∵$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}-2）}^2}+y_1^2}$=$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}$=$\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，同理$|{Q{F_2}}|=3-\frac{x_2}{3}$，
∴|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=6-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$，
因此，△PF₂Q的周長是定值6．
方法二：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{3}-3）^{2}}$，0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，又M是圓O的切點(diǎn)，連接OP，OM，
∴$|{PM}|=\sqrt{{{|{OP}|}^2}-{{|{OM}|}^2}}$=$\sqrt{x_1^2+y_1^2-8}$$\sqrt{x_1^2+8（1-\frac{x_1^2}{9}）-8}$=$\frac{1}{3}{x_1}$，
∴$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，
同理|QF₂|+|QM|=3，
∴|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=3+3=6，
因此，△PF₂Q的周長是定值6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．