Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P（m，n）（m＞0，n＞0），曲線Q：（x-m）²+（y-n）²=m²+n²經(jīng)過橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的相交弦長(zhǎng)相等，且OP=

2

（其中O上坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C點(diǎn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)G為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)過G的直線l與曲線Q的相交弦長(zhǎng)最大時(shí)，直線l交橢圓于A，B，過點(diǎn)G且與直線l垂直的直線l′交橢圓于C，D，試問：是否存在直線l，使得四邊形ACBD的面積等于4？若存在，求出一條對(duì)應(yīng)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于與兩坐標(biāo)軸的相交弦長(zhǎng)相等，則m=n，又圓經(jīng)過橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則a=2m，再由條件可得m=n=1，a=2，將（1，1）代入橢圓方程，即可得到b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由于過G的直線l與曲線Q的相交弦長(zhǎng)最大，則l過圓心，可設(shè)直線l：x=m（y-1）+1，聯(lián)立橢圓方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，得到AB，再設(shè)直線l'：y=-m（x-1+m），聯(lián)立橢圓方程x²+3y²-4=0，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，得到CD，假設(shè)存在直線l，使得四邊形ACBD的面積等于4，運(yùn)用面積公式，即可得到m的方程，解得即可．

解答： 解：（1）曲線Q：（x-m）²+（y-n）²=m²+n²
表示圓心為P（m，n），半徑為

m2+n2

的圓，
由于與兩坐標(biāo)軸的相交弦長(zhǎng)相等，則m=n，又圓經(jīng)過橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，
則有（±a-m）²+（0-n）²=m²+n²，
即有a=2m，且OP=

2

，則m²+n²=2，即有m=n=1，
a=2，又

1

a2

+

1

b2

=1，則b²=

4

3

，
則橢圓方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1；
（2）由于過G的直線l與曲線Q的相交弦長(zhǎng)最大，則l過圓心，
可設(shè)直線l：x=m（y-1）+1，聯(lián)立橢圓方程，消去x，得，
（3+m²）y²+2m（1-m）y+（1-m）²-4=0，
y₁+y₂=

2m(m-1)

3+m2

，y₁y₂=

(1-m)2-4

3+m2

，
則|AB|=

1+m2

•

4m2(m-1)2 (3+m2)2 - 4((1-m)2-4) 3+m2

=

1+m2

•

2|m+3|

3+m2

，
再設(shè)直線l'：y=-m（x-1+m），聯(lián)立橢圓方程x²+3y²-4=0，
消去y，得，（1+3m²）x²-6m²（1-m）x+3m²（m-1）²-4=0，
x₁+x₂=

6m2(1-m)

1+3m2

，x₁x₂=

3m2(m-1)2-4

1+3m2

，
則|CD|=

1+m2

•

( 6m2(1-m) 1+3m2 )2- 12m2(m-1)2-16 1+3m2

=

1+m2

•

2 4+12m2-3m2(m-1)2

1+3m2

，
假設(shè)存在直線l，使得四邊形ACBD的面積等于4，
則

1

2

|AB|•|CD|=4，
即有（1+m²）|m+3|•

4+12m2-3m2(m-1)2

=2（1+3m²）（m²+3），
當(dāng)m=0時(shí)，上式成立，
則存在直線l：x=1，使得四邊形ACBD的面積等于4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)問題，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算和化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．