Question

7．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．
（Ⅰ）若G為FC的中點(diǎn)，證明：AF∥平面BDG；
（Ⅱ）求平面ABF與平面BCF夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若G為FC的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的判定定理證明OG∥AF即可證明：AF∥平面BDG；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF與平面BCF夾角的余弦值

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O點(diǎn)，則O為AC的中點(diǎn)，連接OG，點(diǎn)G為FC的中點(diǎn)，
∴OG∥AF，
∵AF?平面BDG，OG?平面BDC，
∴AF∥平面BDG．
解：（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)Q，連接MQ，
則MQ∥AB∥EF，
∴M，Q，F(xiàn)，E共面．
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，
則EN∥FP且EN=FP，連接EM，F(xiàn)Q
∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，
∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ
∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，
∵BF=CF，Q為BC的中點(diǎn)，∴BC⊥FQ
又BC⊥MQ，F(xiàn)Q∩MQ=Q，
∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD
以P原點(diǎn)，PM為x軸，PF為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（3，1，0），B（-1，1，0），C（-1，-1，0），
設(shè)F（0，0，h），則$\overrightarrow{AF}$=（-3，-1，h），$\overrightarrow{CF}$=（1，1，h），
∵AF⊥CF，∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{CF}$=（-3，-1，h）•（1，1，h）=-3-1+h²=0，解得h=2，
設(shè)平面ABF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AF}$=（-3，-1，2），$\overrightarrow{BF}$=（1，-1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-3x-y+2z=0}\\{x-y+2z=0}\end{array}\right.$，
令 z=1，則x=0，y=2，即$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
同理平面BCF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴平面ABF與平面BCF夾角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．