Question

14．在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=4且公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}中，b₂=a₁，b₄=a₂，b₈=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=log${\;}_{2}^{{a}_{1}}$+log${\;}_{2}^{{a}_{2}}$+…+log${\;}_{2}^{{{a}_{n}}_{\;}^{\;}}$-n，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和為T_n，證明1≤T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出得b₁、d、q的值，代入等差、等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）由（1）和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡c_n，再求出$\frac{1}{{c}_{n}}$，由裂項相消法求出T_n，由T_n的單調(diào)性證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}+d=4\\{b_1}+3d=4q\\{b_1}+7d=4{q^2}\end{array}\right.$，解得b₁=d=q=2，…2分
所以${a_n}=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，
b_n=2+（n-1）•2=2n；  …4分
（2）證明：由（1）得，${c_n}={log_2}^{{a_1}{a_2}…{a_n}}-n={log_2}^{{2^2}{2^3}…{2^{n+1}}}-n={log_2}^{{2^{\frac{{n（{n+3}）}}{2}}}}-n=\frac{{n（{n+3}）}}{2}-n=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，
則$\frac{1}{c_n}=\frac{2}{{n（{n+1}）}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，…7分
∴${T_n}=\frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+…+\frac{1}{c_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）$，…10分
所以T_n是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，
則當(dāng)n取得最小值1時，T_n有最小值1，無最大值．
又T_n＜2，所以1≤T_n＜2   …12分．

點評 本題考查等比、等差數(shù)列的通項公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，考查了利用數(shù)列是一種特殊函數(shù)證明不等式成立，考查了化簡、變形能力．