Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•3ⁿ （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)遞推關(guān)系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=n²+n，n∈N^*，
則a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2符合通項(xiàng)公式，
所以a_n=2n；
（2）由（1）得：設(shè)b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
則：T_n=b₁+b₂+…+b_n=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ①，
3T_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹②，
①-②得：-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹，
整理得：T_n=（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．屬于中檔題．