Question

19．如圖，已知P是正方形ABCD外一點，M，N分別是PA，BD上的點，且$\frac{PM}{MA}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：直線MN∥平面PBC；
（2）若∠PAD=45°，且PD⊥平面ABCD，求異面直線MN，PD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BP}$，從而$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BP}$共面，由此能證明MN∥平面BCP．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線MN，PD所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵P是正方形ABCD外一點，M，N分別是PA，BD上的點，且$\frac{PM}{MA}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$
=-$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$
=-$\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$
=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}$）+$\overrightarrow{PB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BP}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BP}$共面，
∴$\overrightarrow{MN}$∥平面BCP，
∵M(jìn)N?平面BCP，∴MN∥平面BCP．
（2）解：∵∠PAD=45°，且PD⊥平面ABCD，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=3，由已知得M（1，0，2），N（1，1，0），D（0，0，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，3），
設(shè)異面直線MN，PD所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{DP}|}$|=|$\frac{-6}{\sqrt{5}×3}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線MN，PD所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．