【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.

【答案】
(1)解:設(shè)隔熱層厚度為xcm,由題設(shè),每年能源消耗費(fèi)用為

再由C(0)=8,得k=40,

因此

而建造費(fèi)用為C1(x)=6x,

最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為


(2)解: ,令f'(x)=0,即

解得x=5, (舍去).

當(dāng)0<x<5時(shí),f′(x)<0,當(dāng)5<x<10時(shí),f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元


【解析】(1)由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= ,若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.我們可得C(0)=8,得k=40,進(jìn)而得到 .建造費(fèi)用為C1(x)=6x,則根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x),我們不難得到f(x)的表達(dá)式.(2)由(1)中所求的f(x)的表達(dá)式,我們利用導(dǎo)數(shù)法,求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費(fèi)用f(x)的最小值.

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