Question

9．如圖，己知L、K分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)．△ABC的內(nèi)切圓⊙l分別與邊BC、CA切于點(diǎn)D、E．求證：KL、DE的交點(diǎn)在∠ABC的角平分線上．

Answer 1

分析 設(shè)KL與∠ABC的角平分線交于點(diǎn)S，DE與∠ABC的角平分線交于點(diǎn)T，進(jìn)而證明出S，T重合，利用同一法，可得KL、DE的交點(diǎn)在∠ABC的角平分線上．

解答 證明：如圖所示：設(shè)KL與∠ABC的角平分線交于點(diǎn)S，
∵L、K分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)．
∴LK∥BC，
∴∠LSB=∠CBS=∠LBS，
∴LB=LS，
又∵LA=LS，
∴S在以AB為直徑的圓上，
∴∠ASB=90°，
設(shè)DE與∠ABC的角平分線交于點(diǎn)T，
則△ABC的內(nèi)心I在點(diǎn)B，T之間，
當(dāng)AB≠BC時(shí)，T≠E，且∠DEC=90°-$\frac{1}{2}$∠C，∠AIB=90°+$\frac{1}{2}$∠C，
如果T在線面DE內(nèi)部，有∠AIT+∠AET=180°，
∴A，I，T，E四點(diǎn)共圓，
如果I和E在AT的同側(cè)，則有∠AIT=90°，$\frac{1}{2}$∠C=∠AET，
也有A，I，T，E四點(diǎn)共圓，
∵∠AEI=90°，
∴∠AIT=90°，
∵∠ASB=∠ATB，
則S和T重合，
即KL、DE的交點(diǎn)在∠ABC的角平分線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線的性質(zhì)定理，同一法證明，圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)，難度較大．