Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）若直線y=kx與曲線f（x）=$\frac{lnx}{x}$相切，求實數(shù)k的值；
（2）若e＜a＜b，比較a^b與b^a的大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P（a，$\frac{lna}{a}$），求出導(dǎo)函數(shù)y′，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即k=y′|_x=a，再根據(jù)切點(diǎn)在切線上，列出關(guān)于a和k的方程組，求解即可求得k的值．
（2）由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，$\frac{lna}{a}$），
∵曲線y=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=y′|_x=a=$\frac{1-lna}{{a}^{2}}$，①
又∵切點(diǎn)P（a，$\frac{lna}{a}$）在切線y=kx上，
∴$\frac{lna}{a}$=ka，②
由①②，解得a=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$，
∴實數(shù)k的值為$\frac{1}{2e}$．
（2）由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）在x＞e時是減函數(shù)，
∵e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}＞\frac{lnb}$，即blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，
則a^b＞b^a．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上；本題還考查了指數(shù)冪的大小比較，根據(jù)已知條件，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)有一定的難度，屬于中檔題．