Question

14．設(shè)偶函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，且當x∈[-3，-2]時，f（x）=4x，則f（119.5）=$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)周期進行化簡得f（119.5）=f（-0.5），再根據(jù)奇偶性和條件將-0.5轉(zhuǎn)化到區(qū)間[-3，-2]上，代入解析式可求出所求．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，且當x∈[-3，-2]時，f（x）=4x，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+6）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期為6，
∴f（119.5）=f（20×6-0.5）=f（-0.5）=-$\frac{1}{f（-0.5+3）}$=-$\frac{1}{f（2.5）}$，
又∵偶函數(shù)f（x），當x∈[-3，-2]時，有f（x）=4x，
∴f（119.5）=-$\frac{1}{f（2.5）}$=-$\frac{1}{f（-2.5）}$=-$\frac{1}{4×（-2.5）}$=$\frac{1}{10}$．
故答案為：$\frac{1}{10}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，要特別利用好題中有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$的關(guān)系式．在解題過程中，條件f（x+a）=-$\frac{1}{f（x）}$通常是告訴我們函數(shù)的周期為2a．屬于中檔題．