Question

20．自⊙O外一點p引切線與⊙O切于點A，M為PA的中點，過M引割線交⊙O于B、C兩點．
求證：
（Ⅰ）PM²=MB•MC；
（Ⅱ）∠MCP=∠MPB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)切割線定理，得到AM是MB和MC的比例中項，結(jié)合AM=MP即可證明PM²=MB•MC；
（Ⅱ）由MP²=MB•MC得$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，再結(jié)合公共角∠BMP=∠PMC，得三角形BMP與三角形PMC相似，從而得到對應(yīng)角相等，命題得證．

解答 證明：（Ⅰ）∵AM切圓于點A
∴AM²=MB•MC
又∵M(jìn)為PA中點，AM=MP
∴MP²=MB•MC；
（Ⅱ）∵M(jìn)P²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，
又∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（邊角邊）
∴∠MCP=∠MPB．

點評 本題考查了圓當(dāng)中的比例線段，以及三角形相似的有關(guān)知識點，屬于中檔題．找到題中的相似三角形來證明角的相等，是解決本題的關(guān)鍵．