Question

20．已知$\overrightarrow{a}$是直線x+2y+1=0的一個(gè)方向向量，$\overrightarrow$=（2，k），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，則不等式|x-k|+|$\frac{3}{2}$k-x|＞m²-3m-2恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍（-1，4）．

Answer 1

分析 求出直線的方向向量$\overrightarrow{a}$，根據(jù)$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，得到k=4，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵直線x+2y+1=0的斜率k=-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$是直線x+2y+1=0的一個(gè)方向向量，
∴$\overrightarrow{a}$=（1，$-\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow$=（2，k），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2-$\frac{1}{2}$k=0，
解得k=4，
則不等式等價(jià)為|x-4|+|6-x|＞m²-3m-2恒成立，
∵|x-4|+|6-x|≥|x-4+6-x|=2，
∴m²-3m-2＜2，
即m²-3m-4＜0，
解得-1＜m＜4，
故答案為：（-1，4）

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，考查直線的方向向量，向量垂直，絕對值不等式的性質(zhì)以及一元二次不等式的解法，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．