Question

9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且滿足$\frac{a}$+$\frac{a}$=4cosC．
（1）求$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$的值；
（2）若tanA=2tanB，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，即可求出式子的值；
（2）利用商的關(guān)系化簡(jiǎn)tanA=2tanB，再根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)得到等式，聯(lián)立（1）的結(jié)論求出a、b、c的關(guān)系，利用余弦定理求出cosA，再由內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sinA的值．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{a}$+$\frac{a}$=4cosC，
∴由余弦定理得，$\frac{a}$+$\frac{a}$=4×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化簡(jiǎn)可得a²+b²=2c²，
由正弦定理得，sin²A+sin²B=2sin²C，
∴$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}=2$；
（2）∵tanA=2tanB，∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{2sinB}{cosB}$，則sinAcosB=2sinBcosA，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=2b•$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化簡(jiǎn)得，3a²-3b²=c²，
聯(lián)立a²+b²=2c²得，${a}^{2}=\frac{7}{5}^{2}$、${c}^{2}=\frac{6}{5}^{2}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{6}{5}^{2}+^{2}-\frac{7}{5}^{2}}{2b•\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}b}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
由0＜A＜π得，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{195}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理，以及平方關(guān)系，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算的能力，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．