Question

15．若函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）寫出函數f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數g（x）=f（x）-2（a-1）x+2（x∈[1，2]），求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當x＞0時，-x＜0，從而利用奇偶性可求得f（x）=f（-x）=x²-2x；
（2）當x∈[1，2]時，化簡g（x）=x²-2ax+2，從而由二次函數的性質討論以確定最小值即可．

解答 解：（1）當x＞0時，-x＜0，
故f（x）=f（-x）=x²-2x，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）當x∈[1，2]時，
g（x）=f（x）-2（a-1）x+2
=x²-2x-2（a-1）x+2
=x²-2ax+2，
①當a≤1時，由二次函數的性質可知，
g（x）在[1，2]上是增函數，
故g_min（x）=g（1）=1-2a+2=3-2a；
②當1＜a＜2時，由二次函數的性質可知，
g（x）的對稱軸x=a在[1，2]上，
故g_min（x）=g（a）=-a²+2；
③當a≥2時，由二次函數的性質可知，
g（x）在[1，2]上是減函數，
故g_min（x）=g（2）=4-4a+2=6-4a．
綜上所述，
g_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-2a，a≤1}\\{2-{a}^{2}，1＜a＜2}\\{6-4a，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數的性質的應用及分段函數的應用，考查了分類討論的思想，關鍵在于根據對稱軸分類．