Question

3．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若△PF₁F₂最大面積為$\frac{a^2}{2}$，則其離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由于△PF₁F₂最大面積為$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•b=bc，可得bc=$\frac{a^2}{2}$，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：∵△PF₁F₂最大面積為$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•b=bc，
∴bc=$\frac{a^2}{2}$，
∴4（a²-c²）c²=a⁴，
化為：4e⁴-4e²+1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．