Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-a，若f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）有最大值，即可判斷出a＜0，并且$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}$，解該方程即得a的值，a=$-\frac{1}{8}$，或a=-2；
（2）分別將a的這兩個(gè)值帶人不等式f（x）＞1，即可得到兩個(gè)一元二次不等式，分別解這兩個(gè)不等式即得原不等式的解．

解答 解：（1）若a=0，f（x）=x無(wú)最大值；
∴a≠0；
∴f（x）是二次函數(shù)，且a＜0；
∴f（x）的最大值為$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}$；
解得a=$-\frac{1}{8}$，或a=-2；
（2）①當(dāng)a=$-\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）=$-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+\frac{1}{8}$；
∴解$-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+\frac{1}{8}＞1$得，1＜x＜7；
∴f（x）＞1的解集為（1，7）；
②當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=-2x²+x+2；
∴解-2x²+x+2＞1得，$-\frac{1}{2}＜x＜1$；
∴f（x）＞1的解集為（-$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)在定義域R上的最大值，以及計(jì)算二次函數(shù)最大值的公式，解一元二次不等式．