Question

7．如圖的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點G，連結FG，BG，則由中位線定理可得FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，由線面垂直的性質及線段長度得AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，故而四邊形GFAB為平行四邊形，從而AF∥BG，得出AF∥平面BCE；
（2）由DE⊥平面ACD可知DE⊥AF，由等邊三角形的性質可知AF⊥CD，故AF⊥平面CDE，由BG∥AF得BG⊥平面CDE，從而平面BCE⊥平面CDE．

解答 （1）證明：取CE的中點G，連結FG，BG．
∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，∴AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵CD∩DE=D，CD?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質，面面垂直的判定，屬于中檔題．