Question

10．已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，1），且f（x）在區(qū)間[-1，4]的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=lnx-2x+f（x），若函數(shù)h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，m-1]上單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次函數(shù)和不等式之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)h（x）的表達式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)求解即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，1），
∴0，1是方程f（x）=0的兩個根，
設(shè)f（x）=ax（x-1），（a＞0），且函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，拋物線開口向上，
∵f（x）在區(qū)間[-1，4]的最大值是12，
∴當(dāng)x=4時，函數(shù)取得最大值12，即f（4）=4（4-1）a=12a=12，
∴a=1，
即f（x）的解析式為f（x）=x（x-1）=x²-x；
（2）h（x）=lnx-2x+f（x）=lnx-2x+x²-x=lnx+x²-3x，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$═$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
由h′（x）＞0得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，即此時函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為[1，+∞），（0，$\frac{1}{2}$]．
由h′（x）＜0得$\frac{1}{2}$＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1]，
∵h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，m-1]上單調(diào)函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）不可能為單調(diào)遞增函數(shù)，
若函數(shù)h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，m-1]上單調(diào)遞減函數(shù)，
則滿足$\frac{1}{2}$＜m-1≤1，
即$\frac{3}{2}$＜m≤2，
即實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．