Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是菱形，四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°．
（1）求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求點C₁到平面A₁CB的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥BB₁，AB⊥BC，由此能證明平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）由已知得C₁到平面A₁BC的距離即為B₁到平面A₁BC的距離，由此能求出C₁到平面A₁BC的距離．

解答 證明：（1）∵四邊形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁，
∵BC?平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）∵B₁C₁∥BC₁，∴B₁C₁∥平面A₁BC，
∴C₁到平面A₁BC的距離即為B₁到平面A₁BC的距離，
連結(jié)AB₁，AB₁與A₁B交于點O，
∵四邊形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B，
∵CA₁B⊥平面A₁ABB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC，∴B₁O即為C₁到平面A₁BC的距離，
∵B₁O=2$\sqrt{3}$，
∴C₁到平面A₁BC的距離為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．