Question

4．設(shè)經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上的任意兩點(diǎn)的連線（該連線不與x軸垂直）的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-1，1]
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 討論當(dāng)AB∥x軸或與x軸重合時，此時k_AB=0，易得與x軸交于點(diǎn)（0，0）：當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出線段AB的中點(diǎn)，進(jìn)而得出垂直平分線的方程，即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意兩點(diǎn)為A，B，則
①當(dāng)AB∥x軸或與x軸重合時，此時k_AB=0，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P（0，0）；
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，
直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
化為-m²+3+4k²＞0（*）．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x_M，y_M）．
則x_M=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，y_M=kx_M+m=$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$．
線段AB的垂直平分線的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-x₀），
∴m=-$\frac{{x}_{0}（3+4{k}^{2}）}{k}$，代入（*）得x₀²＜$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
令f（k）=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4+\frac{3}{{k}^{2}}}$，則0＜f（k）＜$\frac{1}{4}$，
∴x₀²＜$\frac{1}{4}$．
∴-$\frac{1}{2}$＜x₀＜$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵．