Question

10．已知，命題p：?x∈R，x²+ax+2≥0，命題q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若命題“p∨q”為真命題，且命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（2）問題掌握求$f（x）=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間上的單調(diào)性、最值問題，求出即可；
（3）分別求出“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題時的a的范圍，取交集即可．

解答 解：（1）若命題p：：?x∈R，x²+ax+2≥0，為真命題，
則方程x²+ax+2=0的判別式△=a²-8≤0，…（2分）
所以實數(shù)a的取值范圍為$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$； …（4分）
（2）若命題q為真命題，x²-ax+1=0，
因為$x∈[-3，-\frac{1}{2}]$，所以x≠0，所以$a=x+\frac{1}{x}$…（6分）
因為$x∈[-3，-\frac{1}{2}]$，所以$x+\frac{1}{x}≤-2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，…（8分）
又$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[-3，-1]上單調(diào)增，$[-1，-\frac{1}{2}]$上單調(diào)減，
$f（-3）=-\frac{10}{3}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
所以f（x）值域為[-$\frac{10}{3}$，-2]，
所以實數(shù)a的取值范圍[-$\frac{10}{3}$，-2]…（10分）
（3）命題“p∨q”為真命題，則
a∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]∪[-$\frac{10}{3}$，-2]=[-$\frac{10}{3}$，2$\sqrt{2}$]；…（12分）
命題“p∧q”為真命題，
則$a∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]∩[-\frac{10}{3}，-2]=[-2\sqrt{2}，-2]$，…（14分）
所以命題B-FC₁-C為假命題，則$a∈（-∞，-2\sqrt{2}）∪（-2，+∞）$，
所以若命題$\frac{AF}{{F{A_1}}}$為真命題，命題B-FC₁-C為假命題，
則$a∈（（-∞，-2\sqrt{2}）∪（-2，+∞））∩[-\frac{10}{3}，2\sqrt{2}]$=$[-\frac{10}{3}，-2\sqrt{2}）∪（-2，2\sqrt{2}]$
所以實數(shù)a的取值范圍$[-\frac{10}{3}，-2\sqrt{2}）∪（-2，2\sqrt{2}]$…（16分）．

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．