Question

已知點(diǎn)P是x²+y²=a²+b²與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂，分別是C的左、右焦點(diǎn)，且滿足|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率e為（　�。�

• A、2
• B、

  6

  2

• C、

  5

  2

• D、

  10

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先由雙曲線定義和已知求出兩個(gè)焦半徑的長，再由已知圓的半徑為半焦距，知焦點(diǎn)三角形為直角三角形，從而由勾股定理得關(guān)于a、c的等式，求得離心率

解答： 解：依據(jù)雙曲線的定義：|PF₁|-|PF₂|=2a，又∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵圓x²+y²=a²+b²的半徑r=

a2+b2

=c，
∴F₁F₂是圓的直徑，
∴∠F₁PF₂=90°
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，得e=

c

a

=

10

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題．