Question

19．如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) F₁，F(xiàn)₂在x軸上，焦距與短軸長均為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|是|F₁A|與|F₁B|的等差中項(xiàng)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（其中a＞b＞0），根據(jù)題意，代入計(jì)算即可；
（Ⅱ）分直線l的斜率是否存在兩種情況考慮：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程并代入橢圓C，結(jié)合韋達(dá)定理，利用已知條件可求得斜率k=±1；當(dāng)直線l⊥x軸時，不合題意．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（其中a＞b＞0）
由題意得，$2c=2b=2\sqrt{2}$，所以$b=c=\sqrt{2}$，
又a²=b²+c²，從而a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為$y=k（x-\sqrt{2\;}\;）$，
代入橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
整理得$（1+2{k^2}）{x^2}-4\sqrt{2}{k^2}x+4{k^2}-4=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理，
得${x_1}+{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+2{k^2}}}$，
由于|AB|是|FA₁|與|F₁B|的等差中項(xiàng)，則|F₁A|+|BF₁|=2|AB|，
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以$|{AB}|=\frac{8}{3}$．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}）-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\frac{8}{3}$，解得k=±1；
當(dāng)直線l⊥x軸時，$x=\sqrt{2}$，代入得y=±1，|AB|=2，不合題意．
所以，直線l的方程為$y=±（x-\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意積累解題方法，聯(lián)立方程組后利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．