Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ=2．
（1）求直線l與圓C的公共點的個數(shù)；
（2）在平面直角坐標系中，圓C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到線段C′，設(shè)G（x，y）為曲線C′上一點，求x²+xy+4y²的最大值，并求相應(yīng)點G的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接消去參數(shù)t得直線l的普通方程，根據(jù)ρ²=x²+y²可得曲線C的直角坐標方程，從而可判斷直線l與圓C的公共點的個數(shù)；
（2）先根據(jù)伸縮變換得到曲線C′的方程，然后設(shè)M（2cosθ，sinθ），則x=2cosθ，y=sinθ代入x²+xy+4y²=1+sin2θ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出所求．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y=2+x，即x-y+2=0．
圓C的極坐標方程為ρ=2，直角坐標方程為x²+y²=4，圓心為（0，0），半徑為2，
圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＜2，所以直線l與圓C的公共點的個數(shù)為2；
（2）∵曲線C：x²+y²=4經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C'，
∴C′：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
設(shè)G（2cosθ，sinθ）則x=2cosθ，y=sinθ，
∴x²+xy+4y²=1+sin2θ，
∴x²+xy+4y²的最大值為2，點G的坐標（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題主要考查了極坐標方程，參數(shù)方程化直角坐標方程，以及橢圓的參數(shù)方程在求最值上的應(yīng)用和三角函數(shù)求出最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．