Question

如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)．假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．
（1）若甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求a的值；
（2）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，設(shè)這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專(zhuān)題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用平均數(shù)的計(jì)算方法，可求a的值；
（2）確定基本事件總數(shù)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的基本事件總數(shù)，利用古典概型概率公式，即可求概率；
（3）確定這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）依題意，得：

1

3

(88+92+92)=

1

3

[90+91+(90+a)]
解得 a=1． …（3分）
（2）解：設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件A，
依題意 a=0，1，2，…，9，共有10種可能．
由（1）可知，當(dāng)a=1時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，
所以當(dāng)a=2，3…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．
因此乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率P(A)=

8

10

=

4

5

．…（7分）
（3）解：當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有3×3=9種，它們是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）
則這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有取值為0，1，2，3，4
因此P(X=0)=

2

9

，P(X=1)=

2

9

，P(X=2)=

1

3

，P(X=3)=

1

9

，P(X=4)=

1

9

．
…（10分）
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	2 9	2 9	1 3	1 9	1 9

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×

2

9

+1×

2

9

+2×

1

3

+3×

1

9

+4×

1

9

=

5

3

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以莖葉圖為載體，考查古典概型概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求概率是關(guān)鍵．