Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（x-

π

12

），x∈R．
（Ⅰ）求f（-

π

6

）的值；
（Ⅱ）若cos（θ+

π

3

）=

3

5

，θ∈（-

π

2

，

π

2

），求f（2θ+

π

12

）．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，即可求得f（-

π

6

）的值．
（II）根據(jù)θ∈（-

π

2

，

π

2

）及cos（θ+

π

3

）=

3

5

，求得sin（θ+

π

3

）=

4

5

．再利用二倍角公式求得 cos2（θ+

π

3

）和sin2（θ+

π

3

）的值．再由 f（2θ+

π

12

）=2cos2θ=2cos[2（θ+

π

3

）-

2π

3

]，利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（I）∵函數(shù)f（x）=2cos（x-

π

12

），∴f（-

π

6

）=2cos（-

π

6

-

π

12

）=2cos（-

π

4

）=cos

π

4

=

2

．
（II）∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），∴-

π

6

＜θ+

π

3

＜

5π

6

．
∵cos（θ+

π

3

）=

3

5

∈（

1

2

，

2

2

）∴

π

4

＜θ+

π

3

＜

π

3

，∴sin（θ+

π

3

）=

4

5

．
∴cos2（θ+

π

3

）=2cos2(θ+

π

3

)-1=-

7

25

，sin2（θ+

π

3

）=2sin（θ+

π

3

）cos（θ+

π

3

）=

24

25

．
∴f（2θ+

π

12

）=2cos（2θ+

π

12

-

π

12

）=2cos2θ=2cos[2（θ+

π

3

）-

2π

3

]=2cos2（θ+

π

3

）cos

2π

3

+2sin2（θ+

π

3

）sin

2π

3

=2×（-

7

25

）×（-

1

2

）+2

24

25

×

3

2

=

7+24 3

25

．

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．