Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y=-

1

2

x²+2x+3的形狀相同，開(kāi)口方向相反，與直線y=x-2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）和（m，1）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若該函數(shù)在（t-1，+∞）上為增加的，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y=-

1

2

x²+2x+3的形狀相同，開(kāi)口方向相反，可得a=

1

2

，又由與直線y=x-2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）和（m，1），代入求出m，n值后，可得b，c的值，進(jìn)而可得二次函數(shù)的解析式；
（2）由（1）可得該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合該函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象與y=-

1

2

x²+2x+3的形狀相同，開(kāi)口方向相反．
∴a=

1

2

，
則y=

1

2

x²+bx+c．…（2分）
又（1，n），（m，1）兩點(diǎn)均在直線y=x-2上，
∴

n=1-2 1=m-2

解得：

m=3 n=-1

，
即點(diǎn)（1，-1）和（3，1）均在所求的拋物線上．…（6分）
∴

-1= 1 2 +b+c 1= 9 2 +3b+c.

，
解得

b=-1 c=- 1 2 .

∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²-x-

1

2

．…（10分）
（2）∵函數(shù)f（x）在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，
且該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1
∴t-1≥1．
∴t≥2．
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2，+∞）．  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．