Question

19．若非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）．（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知，得到兩個向量的模相等，將已知等式兩邊平方，得到兩個向量的數(shù)量積，進(jìn)一步求夾角．

解答 解：非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）．（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|，
所以$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，
2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=|$\overrightarrow{a}$|²，
所以cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$；
故答案為：$\frac{π}{3}$

點評 本題考查了向量的運算以及向量是數(shù)量積公式求向量的夾角；屬于基礎(chǔ)題．