Question

5．已知點(diǎn)M在曲線y=ln（x-1）上，點(diǎn)N在曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）上，點(diǎn)P在直線y=x上，則|PM|+|PN|的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出曲線y=ln（x-1）與曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）的交點(diǎn)為（2，0），兩曲線在（2，0）處有相同的切線，利用（2，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，可得|PM|+|PN|的最小值．

解答 解：由題意，曲線y=ln（x-1）與曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）的交點(diǎn)為（2，0）．
∵y=ln（x-1），∴y′=$\frac{1}{x-1}$，x=2時(shí)，y′=1；
∵y=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$，∴y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，x=2時(shí)，y′=1，
∴兩曲線在（2，0）處有相同的切線，
∵（2，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，
∴|PM|+|PN|的最小值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．