Question

14．設數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1），等比數(shù)列{b_n}的前n頂和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為M_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項公式列出關于a₁的方程，解次方程求出a₁，當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1 化簡S_n=na_n-2n（n-1），由等差數(shù)列的定義得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）中求出的a_n分別代入$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$化簡，利用裂項相消法求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和M_n．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{b_n}的前n頂和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₃，
∴T₅-T₃=2b₃，則b₄+b₅=2b₃，即${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}-2=0$，
解得 a₁=1或a₁=-2，
∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1），
∴當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2）]，
化簡可得，a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為或-2首項，以4為公差的等差數(shù)列，
則a_n=4n-3或a_n=4n-6；
（2）當a_n=4n-3時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$），
∴M_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$）]．
=$\frac{1}{4}$（$1-\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{1}{4n+1}$；
當a_n=4n-6時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-6）（4n-2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-6}-\frac{1}{4n-2}$），
∴M_n=$\frac{1}{4}$[（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{4n-6}-\frac{1}{4n-2}$）]．
=$\frac{1}{4}$（$-\frac{1}{2}$-$-\frac{1}{4n-2}$）=$-\frac{n}{4（2n-1）}$，
綜上可得，當a_n=4n-3時，M_n=$\frac{1}{4n+1}$；
當a_n=4n-6時，M_n=$-\frac{n}{4（2n-1）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式，等比數(shù)列的通項公式，以及當n≥2時a_n=S_n -S_n-1的應用，考查裂項相消法求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力．