Question

11．已知M（2，4）是拋物線(xiàn)y²=8x上一定點(diǎn)，A，B是拋物線(xiàn)上異于M的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若MA⊥MB，直線(xiàn)AB必過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （8，-4）
• B． （10，-4）
• C． （10，4）
• D． （8，4）

Answer 1

分析 設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}，{y}_{2}）$，由于MA⊥MB，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，化為：80=-4（y₁+y₂）-y₁y₂，直線(xiàn)AB的方程為：8x=（y₁+y₂）y-y₁y₂．比較即可得出．

解答 解：設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}，{y}_{2}）$，
∵M(jìn)A⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}-2，{y}_{1}-4）$$•（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}-2，{y}_{2}-4）$=0，
∴$\frac{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}{64}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$+20+y₁y₂-4（y₁+y₂）=0，
化為y₁y₂+48=-4（y₁+y₂+8），即80=-4（y₁+y₂）-y₁y₂，（*）
直線(xiàn)AB的方程為：$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{8}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{8}）$，化為8x=（y₁+y₂）y-y₁y₂．（**）
比較（*）（**）可得：直線(xiàn)AB必過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，-4）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．