Question

數(shù)列{a_n}中，a_n>0，a_n≠1，且(n∈N*).
(1)證明：a_n≠a_n+1；
(2)若，計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

（1）祥見解析；（2）

解析試題分析：（1）利用反證法，若a_n+1=a_n，即，解得 a_n=0或1，結(jié)論與題干條件矛盾;（2）法一：根據(jù)，，求出，，，，觀察各項(xiàng)分子通項(xiàng)為3^n-1，分母通項(xiàng)為3^n-1+1，于是可以寫出通項(xiàng)公式a_n，進(jìn)而可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．法二：由(n∈N*)，取倒數(shù)得，從而可轉(zhuǎn)化為：這樣就可選求出等比數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比，從而可寫出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而就可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
試題解析：(1)證明：(反證法)若a_n=a_n+1，則由(n∈N*)，得，
得a_n=1，這與已知a_n≠1相悖，故a_n≠a_n+1.                   4分
(2)方法一：(舉例-猜想-證明)
若，由(n∈N*)得，，
，，猜想：(n∈N*)，           8分
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，，所以當(dāng)n=1時(shí)命題成立；      9分
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，，          12分
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，故(n∈N*)，  13分
由①、②可知，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有(n∈N*). 14分
(說明：其它方法請(qǐng)相應(yīng)給分)
方法二：(利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式)
由(n∈N*)，取倒數(shù)得，
又，令2+3t=t，解得t=－1，
∴，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，∴，∴.
考點(diǎn)：１．反正法；２．?dāng)?shù)列遞推式；３．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．