Question

已知函數(shù)f（x）=1-

2

2x+1

（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：

分析：（1）由解析式求出函數(shù)的定義域，再化簡f（-x）并判斷出與f（x）的關(guān)系，由函數(shù)的奇偶性的定義下結(jié)論；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進行證明；
（3）根據(jù)（2）證明的單調(diào)性和區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）的定義為R，
且 f(x)=1-

2

2x+1

=

2x+1

2x+1

-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
則f(-x)═

2-x-1

2-x+1

=

1-2x 2x

1+2x 2x

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
所以f（x）是奇函數(shù)…（4分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，則

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)…（8分）
（3）由（2）知，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增
∴f(x)min=f(-1)=-

1

3

，f(x)max=f(2)=

3

5

…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的證明方法：定義法，以及利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．