Question

11．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=2，B=2A，則c的取值范圍是（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由條件求得即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，再根據(jù)正弦定理求得c=$\frac{2sin3A}{sin2A}$=4cosA-$\frac{1}{cosA}$，顯然c在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是減函數(shù)，由此求得c的范圍．

解答 解：銳角△ABC中，∵B=2A＜$\frac{π}{2}$，∴A＜$\frac{π}{4}$．
再根據(jù)C=π-3A＜$\frac{π}{2}$，可得A＞$\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
再根據(jù)正弦定理可得$\frac{sinB}$=$\frac{2}{sin2A}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{sin3A}$，
求得c=$\frac{2sin3A}{sin2A}$=$\frac{3-{4sin}^{2}A}{cosA}$=$\frac{{4cos}^{2}A-1}{cosA}$=4cosA-$\frac{1}{cosA}$ 在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是減函數(shù)，
故c∈（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
故答案為：（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)角和公式、正弦定理，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．