Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點P在橢圓上運動，當(dāng)∠F₁PF₂=60°，${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過原點直線l與橢圓交于A，B，斜率為k₁，直線OP斜率為k₂，${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$，判斷△APB的面積是否為定值，若為定值，則求出這個定值，若不為定值，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．m+n=2a，由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos60°，可得3mn=4b²．已知${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{1}{2}$mnsin60°，解得b²．又b²=a²-c²，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線AP的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得m，k的關(guān)系，利用點到直線的距離公式可得點O到直線AP的距離．利用S_△AOP=$\frac{1}{2}$|AP|d，及其S_△APB=2S_△AOP即可得出．

解答 解：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．m+n=2a，由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn，
∴3mn=4b²．
由題意可得：${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，解得b²=2．
又b²=a²-c²，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，聯(lián)立解得a²=4，c=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)直線AP的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，△=8（4k²-m²+2）＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∵${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，∴y₁y₂=-$\frac{1}{2}$x₁x₂=-$\frac{{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴m²=2k²+1．
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$|AP|d=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{8（4{k}^{2}-{m}^{2}+2）}$$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{8（4{k}^{2}-2{k}^{2}-1+2）}•\sqrt{2{k}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△APB=2S_△AOP=2$\sqrt{2}$．為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓相交弦長問題、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．