Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點(diǎn)M．求直線BM與平面ACM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 可分別以AB，AD，AP三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并可求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)M在PD上，從而可設(shè)M（0，y，2-y），根據(jù)$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PD}=0$可求出y=1，從而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．可設(shè)平面ACM的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$便可求出$\overrightarrow{m}$，設(shè)BM和平面ACM所成角為θ，從而根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{m}|}$即可求出sinθ．

解答 解：根據(jù)條件知，AB，AD，AP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；
M在棱PD上，設(shè)M（0，y，2-y），則：$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{BM}=（-1，y，2-y）$；
∵BM⊥PD；
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PD}=2y-2（2-y）=0$；
∴y=1，M（0，1，1）；
∴$\overrightarrow{BM}=（-1，1，1），\overrightarrow{AM}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，2，0）$；
設(shè)平面ACM的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}={y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}={x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取y₁=1，則x₁=-2，z₁=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-2，1，-1）$；
設(shè)BM與平面ACM所成角為θ，則：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{m}|}=\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴直線BM與平面ACM所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，以及線面角的概念，向量夾角的余弦公式，清楚線面角和直線方向向量與平面的法向量夾角的關(guān)系．