Question

18．己知三棱椎O一ABC，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)除OC外都是1，并且側(cè)面OAB與底面ABC所成的角為a．
（1）求側(cè)棱OC的長(zhǎng)（表示為a的函數(shù)）；
（2）問(wèn)a=30°時(shí)，三棱錐的體積是多少？

Answer 1

分析 （1）作出棱錐的高和二面角O-AB-C，根據(jù)勾股定理列出方程解出OC．
（2）求出棱錐的底面積和高，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：（1）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD，過(guò)O作OE⊥CD，垂足為E，
∵△ABC是等邊三角形，∴AB⊥CD，∵OA=OB=1，∴OD⊥AB，
∴∠ODE=α，∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=ODcosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosα$，OE=ODsinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα，CE=CD-DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cosα）．
∴OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}si{n}^{2}α+\frac{3}{4}（{1-cosα）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}cosα}$=$\frac{\sqrt{6-6cosα}}{2}$．
（2）∵AB⊥CD，AB⊥OD，OD∩CD=D，OD?平面OCD，CD?平面OCD，
∴AB⊥平面OCD，∵OE?平面OCD，
∴AB⊥OE，∵CD⊥OE，AB∩CD=D，AB?平面ABC，CD?平面ABC，
∴OE⊥平面ABC．
由（1）可知OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•{1}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的體積計(jì)算，作出直觀圖，作出棱錐的高并證明是關(guān)鍵．